Εδώ θα βρείτε τις λύσεις της 4ης εργασίας ΠΛΗ12, ώστε να μπορέσετε να επαληθεύσετε άμεσα τις απαντήσεις σας.
Άσκηση 1
A)
(i) \(\rm nsin(\frac{1}{n^2})\rightarrow 0\) , (ii) \(\rm \frac{\sqrt{n+1}}{2^n}\rightarrow 0\) ,
(iii) \(\rm ln(\frac{2n+3}{n+1})\rightarrow ln2\) , (iv) \(\rm \frac{sinn}{n^{3/2}}\rightarrow 0\)
B)
i) Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \(\rm α\) η ακολουθία \(\rm α_{n}\) είτε συγκλίνει στο \(\rm \frac{1}{α}\) είτε αποκλίνει.
ii) Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \(\rm λ\) η ακολουθία \(\rm b_{n}\) συγκλίνει είτε στο 1, είτε στο \(\rm \frac{1}{2}\), είτε στο 0.
iii) Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \(\rm α\) η ακολουθία \(\rm c_{n}\) είτε συγκλίνει στο 0, είτε στο 1, είτε αποκλίνει.
Άσκηση 2
A) (i) \(\rm α_{n}\rightarrow 1\) (ii) \(\rm b_{n}\rightarrow e\)
B) Η ακολουθία συγκλίνει για κάθε πραγματικό άριθμό \(\rm x\) , με όριο είτε το 0 είτε το 1.
Γ)
(i) Εύκολα από τη θεωρία (γινόμενο ορίων)
(ii) Αρκεί να αποδείξουμε τα επόμενα: \(\rm (\sqrt{n^2+1})<<(nlnn)\) ,
\(\rm (ln(n+1))<<(\sqrt{n^2+1})\) ,
\(\rm (ln(ln(n+5)))<<(ln(n+1))\)
Άσκηση 3
Α) Αποδεικνύουμε ότι η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη, οπότε θα συγκλίνει.
Β) Είναι: \(\rm x_{n}=\frac{1+(-\frac{1}{3})^n}{2}α+\frac{1-(-\frac{1}{3})^n}{2}β\) και \(\rm y_{n}=\frac{1-(-\frac{1}{3})^n}{2}α+\frac{1+(-\frac{1}{3})^n}{2}β\)
Άσκηση 4
A)
(i) Η σειρά συγκλίνει και ένα άνω φράγμα του αθροίσματος είναι το \(\rm \frac{4}{3}\) .
(ii) Η σειρά συγκλίνει και ένα άνω φράγμα του αθροίσματος είναι το 2 .
B) Το άθροισμα της σειράς είναι 1 .
Γ) Μία εκτίμηση του σφάλματος είναι: \(\rm α_{7}=\frac{1}{\sqrt{13}}\) .
Δ) (i) \(\rm [0,2]\) , (ii) \(\rm \mathbb{R}\) , (iii) \(\rm (1,3)\) , (iv) \(\rm (-1,1)\)
Άσκηση 5
A) \(\rm 2x+2x^3+2x^5+2x^7+2x^9+...\)
Β) \(\rm 0+x-1 +\frac{(x-1)^2}{2}-\frac{(x-1)^3}{6}+\frac{(x-1)^4}{12}-...\)
Γ) \(\rm \frac{e^{2x}-e^{-2x}}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n-(-2)^n}{n!}x^{n-1} \)
\(\rm \frac{x-sinx}{x^2}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n-1}}{(2n+1)!} \)
\(\rm \frac{cos(2x)-1}{x^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n2^{2n}x^{2n-2}}{(2n)!} \)
Στόχος:
Το υπόδειγμα λύσεων που διανέμεται στους φοιτητές περιέχει αναλυτική επίλυση και αιτιολόγηση όλων των ερωτημάτων (και με αναφορές στη θεωρία) ώστε να αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο μελέτης.Το υλικό που παρατίθεται σε αυτή την ενότητα είναι μια προσπάθεια να παρουσιάσουμε τη δουλειά μας. Αυτό δεν σημαίνει ότι ο τρόπος προσέγγισης της λύσης των ασκήσεων είναι μοναδικός.
Το πλεονέκτημα των ιδιαίτερων μαθημάτων είναι ότι ο καθηγητής έχει την άνεση να εξηγήσει κάτι με περισσότερους τρόπους, ώστε να είναι σίγουρος ότι ο φοιτητής το έχει κατανοήσει απολύτως.
